✎ Couple de Bézout en « remontant » l'algorithme d'Euclide - Méthode

Modifié par Clemni

On souhaite déterminer un couple (u;v)Z2 tel que 8u+19v=1 . Pour cela, on peut « remonter » l'algorithme d'Euclide appliqué à  19  et  8 .

L'idée principale est que l'égalité  8u+19v=1  est une manière d'écrire 1  (autrement dit, le PGCD de 8  et 19 ) comme une combinaison linéaire de  8  et  19 .

Pour obtenir une telle égalité, on peut additionner les lignes obtenues dans l'algorithme d'Euclide, à condition d'éliminer tous les diviseurs  b et restes  r intermédiaires.

Étant donné qu'un diviseur  b  donné est le reste  r  de la ligne précédente, il s'agit en fait d'éliminer tous les restes intermédiaires dans l'algorithme d'Euclide, excepté le PGCD. Pour cela, avant d'additionner les lignes de l'algorithme d'Euclide, on doit multiplier chacune d'entre elles par un coefficient choisi de manière à supprimer ces restes intermédiaires.

Voici une manière de remonter l'algorithme d'Euclide appliqué à  19  et  8  :

 L1L2L3 abqr19823832232112120 ×3suppression du reste 3×(1)suppression du reste 2×1conservation du PGCD   

  • Pour conserver le PGCD (égal à 1  dans cet exemple), on multiplie la ligne  L3 par  1 .
    La ligne  L3  devient donc :  3×1=2×1×1+1×1 .
  • Pour supprimer le reste  2  sur la ligne  L2 , on tient compte que ce reste  2  apparaît dans le produit  2×1×1  de la ligne  L3 . Afin que  2  disparaisse en additionnant les ligne  L3  et  L2 , il faut donc multiplier la ligne  L2  par  1  (car  2  apparaît « une fois côté diviseur » sur la ligne  L3 ).
    La ligne  L2  devient donc :  8×(1)=3×2×(1)+2×(1) .
  • Pour éliminer le reste  3  sur la ligne  L1 , on tient compte que ce reste  3  apparaît dans le produit  3×2×(1)  de la ligne  L2  et dans le produit  3×1  de la ligne  L3 .
    Afin que  3  disparaisse en additionnant les lignes  L3 L2  et  L1 , il faut donc multiplier la ligne  L1  par  3  (car  3  apparaît « une fois côté dividende » sur la ligne  L3  et « moins deux fois côté diviseur » sur la ligne  L2 ).
    La ligne  L1  devient donc :  19×3=8×2×3+3×3 .

En additionnant les lignes  L1 L2  et  L3  modifiées, on a donc :
19×3=8×2×3+3×3+8×(1)+3×2×(1)+2×(1)+3×1+2×1×1+1×1  
autrement dit, après simplifications,
19×3+8×(1)=8×2×3+1    8×(7)+19×3=1 donc le couple (u;v)=(7;3) convient pour satisfaire l'égalité  8u+19v=1 .

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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