On souhaite déterminer un couple
tel que
. Pour cela, on peut
« remonter » l'algorithme d'Euclide
appliqué à
et
.
L'idée principale est que l'égalité
est une manière d'écrire
(autrement dit, le PGCD de
et
) comme une combinaison linéaire de
et
.
Pour obtenir une telle égalité, on peut additionner les lignes obtenues dans l'algorithme d'Euclide, à condition d'éliminer tous les diviseurs
et restes
intermédiaires.
Étant donné qu'un diviseur
donné est le reste
de la ligne précédente, il s'agit en fait d'éliminer tous les restes intermédiaires dans l'algorithme d'Euclide, excepté le PGCD. Pour cela, avant d'additionner les lignes de l'algorithme d'Euclide, on doit multiplier chacune d'entre elles par un coefficient choisi de manière à supprimer ces restes intermédiaires.
Voici une manière de remonter l'algorithme d'Euclide appliqué à
et
:
- Pour conserver le PGCD (égal à
dans cet exemple), on multiplie la ligne
par
.
La ligne
devient donc :
.
- Pour supprimer le reste
sur la ligne
, on tient compte que ce reste
apparaît dans le produit
de la ligne
. Afin que
disparaisse en additionnant les ligne
et
, il faut donc multiplier la ligne
par
(car
apparaît « une fois côté diviseur » sur la ligne
).
La ligne
devient donc :
.
- Pour éliminer le reste
sur la ligne
, on tient compte que ce reste
apparaît dans le produit
de la ligne
et dans le produit
de la ligne
.
Afin que
disparaisse en additionnant les lignes
,
et
, il faut donc multiplier la ligne
par
(car
apparaît « une fois côté dividende » sur la ligne
et « moins deux fois côté diviseur » sur la ligne
).
La ligne
devient donc :
.
En additionnant les lignes
,
et
modifiées, on a donc :
autrement dit, après simplifications,
donc le couple
convient pour satisfaire l'égalité
.